题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线的顶点P在直线y=﹣x+4上,与y轴交于点C(点P、C不与点B重合),以BC为边作矩形BCDE,且CD=2,点P、D在y轴的同侧.

(1)n= (用含m的代数式表示),点C的纵坐标是 (用含m的代数式表示).

(2)当点P在矩形BCDE的边DE上,且在第一象限时,求抛物线对应的函数表达式.

(3)设矩形BCDE的周长为d(d0),求d与m之间的函数表达式.

(4)直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值.

【答案】(1)﹣m+4,﹣m2﹣m+4;(2)(3)(4)m=1、m=﹣1、

【解析】

试题分析:(1)根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标(m,n),又因为点p在直线y=﹣x+4上,将p点坐标代入可求出n,将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标,并将其化成含m的代数式;

(2)当点P在矩形BCDE的边DE上,且在第一象限时,由CD=2可知,点P的横坐标为2,可求得纵坐标为2,则P(2,2),得出抛物线对应的函数表达式;

(3)根据坐标表示出边BC的长,由矩形周长公式表示出d;

(4)首先点B与C不能重合,因此点B不会在抛物线上,则分两类情况讨论:①点C、D在抛物线上时;②点C、E在抛物线上时;由(1)的结论计算出m的值.

试题解析:(1)y=﹣(x﹣m)2+n=﹣x2+mx﹣m2+n,

P(m,n),

点P在直线y=﹣x+4上,

n=﹣m+4,

当x=0时,y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4,

即点C的纵坐标为:﹣ m2﹣m+4,

故答案为:﹣m+4,﹣ m2﹣m+4;

(2)四边形BCDE是矩形,

DEy轴.

CD=2,

当x=2时,y=2.

DE与AB的交点坐标为(2,2).

当点P在矩形BCDE的边DE上时,抛物线的顶点P坐标为(2,2).

抛物线对应的函数表达式为

(3)直线y=﹣x+4与y轴交于点B,

点B的坐标是(0,4).

当点B与点C重合时,

解得m1=0,m2=﹣3.

i)当m﹣3或m0时,如图①、②,

ii)当﹣3m0时,如图③,

(4)如图④⑤,点C、D在抛物线上时,由CD=2可知对称轴为:x=±1,即m=±1;

如图⑥⑦,点C、E在抛物线上时,由B(0,4)和CD=2得:E(﹣2,4)

则4=﹣(﹣2﹣m)2+(﹣m+4),解得:

综上所述:m=1、m=﹣1、

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