题目内容
【题目】已知抛物线经过点E(1,0)和F(5,0),并交y轴于D(0,-5);抛物线:(a≠0),
(1)试求抛物线的函数解析式;
(2)求证: 抛物线 与x轴一定有两个不同的交点;
(3)若a=1
①抛物线、顶点分别为 ( , )、( , ) ;当x的取值范围是_________ 时,抛物线、 上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大;
②已知直线MN分别与x轴、、分别交于点P(m,0)、M、N,且MN∥y轴,当1≤m≤5时,求线段MN的最大值。
【答案】(1)(2)证明见解析(3)8
【解析】试题分析:
试题解析:
(1)设的解析式为y=a(x-1)(x-5),
当x=0,y=-5,
∴-5=a(-1)×(-5),∴a=-1,
∴=。
(2)△====>0,
∴抛物线与x轴一定有两个不同的交点。
(3)当a=1时,①、的顶点分别为(3,4)、(2,-1),当2≤x≤3时,抛物线、 上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大;
② 的顶点为(2,-1),对称轴为x=2,与x轴的交点为(3,0),(1,0),与的交点为(1,0),(4,3),
当1≤m≤4时,
MN====-2+。
当x=时,MN最大;
当4<m≤5时,MN==,
∵MN=有最小值,但在对称轴右边MN随x增大而增大,
当m=5时,MN最大=225-50+8=8。
综合上述MN最大值为8
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