题目内容

【题目】我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列,其中“杨辉三角”(如图)就是一例,它的发现比欧洲早五百年左右.

杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和.事实上,这个三角形给出了n=123456)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 例如,在三角形中第三行的三个数121,恰好对应着展开式中各项的系数;第四行的四个数1331,恰好对应着展开式中各项的系数,等等.

1)当n=4时,的展开式中第3项的系数是_________

2)人们发现,当n是大于6的自然数时,这个规律依然成立,那么的展开式中各项的系数的和为_________

【答案】6 128

【解析】

1)当n=4时,的展开式的系数恰好对应的是第五行的数,根据第五行的数即刻得出答案;

2的展开式的系数恰好对应第八行的数,据图写出第八行的数求和即可.

解:(1的展开式的系数恰好对应的是第五行的数,为:1,4,6,4,1,故的展开式中第3项的系数是6;

(2)据题可知第八行的数为:1,7,21,35,35,21,7,1.故的展开式中各项的系数的和为:1+7+21+35+35+21+7+1=128.

故答案为:(1)6;(2)128.

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