题目内容
【题目】我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列,其中“杨辉三角”(如图)就是一例,它的发现比欧洲早五百年左右.
杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和.事实上,这个三角形给出了(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应着
展开式中各项的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着
展开式中各项的系数,等等.
(1)当n=4时,的展开式中第3项的系数是_________;
(2)人们发现,当n是大于6的自然数时,这个规律依然成立,那么的展开式中各项的系数的和为_________.
【答案】6 128
【解析】
(1)当n=4时,的展开式的系数恰好对应的是第五行的数,根据第五行的数即刻得出答案;
(2)的展开式的系数恰好对应第八行的数,据图写出第八行的数求和即可.
解:(1)的展开式的系数恰好对应的是第五行的数,为:1,4,6,4,1,故
的展开式中第3项的系数是6;
(2)据题可知第八行的数为:1,7,21,35,35,21,7,1.故的展开式中各项的系数的和为:1+7+21+35+35+21+7+1=128.
故答案为:(1)6;(2)128.

【题目】王老师将1个黑球和若干个白球入放一个不透明的口袋并搅匀,让若干学生进行摸球试验,每次摸出一个球(有放回),统计数据如下表:
摸球的次数(n) | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
摸到黑球的次数(m) | 23 | 31 | 60 | 130 | 203 | 251 |
摸到黑球的频率(m/n) | 0.230 | 0.207 | 0.300 | 0.260 | 0.254 |
(1)补全上表中的有关数据,并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ;
(2)估计口袋中白球的个数;
(3)在(2)的条件下,若小强同学有放回地连续两次摸球,用画树状图法或列表法计算他两次都摸出白球的概率。