题目内容
【题目】如图，顶点坐标为
的抛物线
经过点
，与
轴的交点在
，
之间（含端点），则下列结论：①
；②
；③对于任意实数
，
总成立；④关于
的方程
有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣
，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
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