Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求

FG

AF

的值．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是?，可知AB∥CD，那么就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分线，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE⊥DE；
（2）由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA，那么AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出AD=BC=BE+CE=10．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由于AD是直径，所以tan∠FAG=

FG

AF

，而∠FAG=∠DAE，于是

FG

AF

=

DE

AE

，即可求．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．                      （1分）
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，（2分）
∴∠AED=90°，（3分）
∴AE⊥DE．                                 （4分）

（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA．                           （5分）
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5．                               （6分）
同理EC=CD=5．
∴AD=BC=BE+EC=10．                        （7分）
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=

102-82

=6． （8分）
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=

FG

AF

，
∴

FG

AF

=tan∠DAE=

DE

AE

=

6

8

=

3

4

．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质、三角函数值、勾股定理等知识．