题目内容
如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2-x-2过A、B、C三点,在对称轴上存在点P,以P、A、C为顶
点三角形为直角三角形.则点P的坐标是______.
点三角形为直角三角形.则点P的坐标是______.
∵抛物线y=x2-x-2=(x-
)2-
,
∴抛物线的对称轴为直线x=
,
令y=0,则x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=2,
∴点A(-1,0),B(2,0),
∴OA=1,OB=2,
令x=0,则y=-2,
∴点C(0,-2),
∴OC=2,
①∠PAC=90°时,如图1,设PA与y轴的交点为D,
∵∠DAO+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠DAO=∠ACO,
又∵∠AOC=∠DOA=90°,
∴△ACO∽△DAO,
∴
=
,
即
=
,
解得OD=
,
所以,点D(0,
),
设直线AP解析式为y=kx+b,
则
,
解得
,
所以,直线AP的解析式为y=
x+
,
当x=
时,y=
×
+
=
,
所以,点P的坐标为(
,
);
②∠PCA=90°时,如图2,设CP的延长线与x轴相交于点D,
同①可求△ACO∽△CDO,
所以,
=
,
即
=
,
解得OD=4,
所以,点D(4,0),
设直线CP的解析式为y=mx+n,
则
,
解得
,
所以,直线CP的解析式为y=
x-2,
当x=
时,y=
×
-2=-
,
所以,点P的坐标为(
,-
);
③∠APC=90°时,如图3,设抛物线对称轴与x轴相交于点D,过点C作CE⊥PD于点E,
∵抛物线对称轴为直线x=
,
∴AD=
-(-1)=
,CE=
,
设PD=a,则PE=PE-PD=OC-PD=2-a,
∵∠PAD+∠APD=90°,∠APD+∠CPE=90°,
∴∠PAD=∠CPE,
又∵∠ADP=∠PEC=90°,
∴△APD∽△PCE,
∴
=
,
即
=
,
整理得,4a2-8a+3=0,
解得a1=
,a2=
,
所以,点P的坐标为(
,-
)或(
,-
),
综上所述,点P的坐标为(
,
)或(
,-
)或(
,-
)或(
,-
).
故答案为:(
,
)或(
,-
)或(
,-
)或(
,-
).
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∴抛物线的对称轴为直线x=
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令y=0,则x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=2,
∴点A(-1,0),B(2,0),
∴OA=1,OB=2,
令x=0,则y=-2,
∴点C(0,-2),
∴OC=2,
①∠PAC=90°时,如图1,设PA与y轴的交点为D,
∵∠DAO+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠DAO=∠ACO,
又∵∠AOC=∠DOA=90°,
∴△ACO∽△DAO,
∴
OA |
OD |
OC |
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即
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OD |
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解得OD=
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所以,点D(0,
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设直线AP解析式为y=kx+b,
则
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解得
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所以,直线AP的解析式为y=
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当x=
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所以,点P的坐标为(
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②∠PCA=90°时,如图2,设CP的延长线与x轴相交于点D,
同①可求△ACO∽△CDO,
所以,
OA |
OC |
OC |
OD |
即
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OD |
解得OD=4,
所以,点D(4,0),
设直线CP的解析式为y=mx+n,
则
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解得
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所以,直线CP的解析式为y=
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当x=
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所以,点P的坐标为(
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③∠APC=90°时,如图3,设抛物线对称轴与x轴相交于点D,过点C作CE⊥PD于点E,
∵抛物线对称轴为直线x=
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∴AD=
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设PD=a,则PE=PE-PD=OC-PD=2-a,
∵∠PAD+∠APD=90°,∠APD+∠CPE=90°,
∴∠PAD=∠CPE,
又∵∠ADP=∠PEC=90°,
∴△APD∽△PCE,
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AD |
PE |
PD |
CE |
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2-a |
a | ||
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整理得,4a2-8a+3=0,
解得a1=
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所以,点P的坐标为(
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综上所述,点P的坐标为(
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