Question

已知：如图，内接于⊙O, 为⊙O的直径，, 点是上一个动点，连结、和, 与相交于点, 过点作于, 与相交于点,连结和.
 
(1) 求证：;
（2）如图1，若， 求证：；
（3) 如图2，设 , 四边形的面积为,求与之间的关系式.

Answer 1

(1) 证明: ∵, 为的直径
∴
∵，
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴ 
∴≌
∴  
(2)证明：∵
∴ 
∴
∴
∴是的中点
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴∥ 
（3）解：
= （）

（1）根据PC与CD垂直，由垂直定义得到∠PCD为直角，又AB为圆的直径，由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADB也为直角，根据同角的余角相等得到∠ACD与∠BCP相等，又AC=BC得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而得到∠CAB=45°，根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDP=45°，即三角形DCP为等腰直角三角形，所以CD=CP，利用”SAS“即可得到三角形ACD与三角形BCP全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD=PB；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，则tan∠ACD=tan=∠ABD，在直角三角形ABD中，由正切函数定义得到AD等于BD的一半，由（1）得到AD=PB代入比例式得到P为BD中点，即AP为直角三角形ABD斜边上的中线，则AP=DP，所以三角形ADP为等腰直角三角形，所以∠APD=45°，又∠CDP=45°，得到一对内错角相等，从而得到两直线平行，得证；
（2）（3）四边形APBC的面积可以分为三角形ACD和三角形APC的面积之和，而三角形ACD与三角形BCP全等，故四边形的面积可以等于三角形BCP和三角形APC的面积之和，即三角形ABC的面积减去三角形ABP的面积，而P为BD中点，根据等底同高得到三角形ABP的面积与三角形ADP的面积相等，从而得到四边形的面积等于三角形ABC的面积减去三角形ADP的面积，然后由这两个三角形都为等腰直角三角形且直角边分别为5和x，利用三角形的面积公式即可表示出y与x的函数关系式，同时求出自变量x的范围．