Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=6．

【解析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；

（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．

（1）∵点O是AC中点，

∴OA=OC，

∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

在△AOD和△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴AD=CE，

∵CE∥AB，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴CD=AD，

∴四边形AECD是菱形；

（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，

∴AC⊥ED，

在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，

设OD=3x，OA=4x，

则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：=24，

解得：x=1，

∴OD=3，

∵O，D分别是AC，AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴BC=2OD=6．