题目内容

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

解：（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长线段始终是EF．

（2）AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．
证明如下：
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，连接EG、FG
又∵CE=CE
则△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠EGF=90°
∴AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．
分析：（1）在E点，F点的位置发生变化时，AE，EF，FB中最长线断始终是EF；
（2）如图，在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，连接EG、FG，构建全等三角形△ACE≌△GCE；然后利用该全等三角形的对应角相等证得∠1=∠A．同理：△CGF≌△CBF，∠2=∠B；最后根据直角三角形的性质和等量代换即可证得“AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形”．
点评：此题是开放性试题，利用等腰直角三角形的性质来探究图形变换的规律，最后利用旋转法证明探究的规律．