Question

【题目】观察下列式子，并完成后面的问题

（1）

（2）．

你能利用上述关系式计算

（3）利用(1)、(2)得到的结论，计算等于多少?并写出你是怎样得到的

Answer 1

【答案】（1）；（2）24200；（3）19747，见解析

【解析】

（1）观察不难发现，从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4；

（2）将原式变形为（2×1）3+（2×2）3+（2×3）3+（2×4）3+…+（2×10）3=8×（13+23+33+43+…+103），再套用（1）中公式计算可得；

（3）由（1）得13+23+33+43+…+203=×202×212=44100，由（2）得23+43+63+83+…+203=8××102×112=24200，两式相减从而得出13+33+53+73+…+193，再减去13+33+53，即可得答案．

解：（1）∵13=×12×22，

13+23=×22×32，

13+23+33=×32×42，

∴13+23+33+…+（n-1）3+n3=×n2×（n+1）2；

（2）原式=（2×1）3+（2×2）3+（2×3）3+（2×4）3+…+（2×10）3

=8×（13+23+33+43+…+103）

=8××102×112

=24200；

（3）由（1）知13+23+33+43+…+203=×202×212=44100，

由（2）知，23+43+63+83+…+203=8××102×112=24200，

∴13+33+53+73+…+193=44100-24200=19900，

又∵13+33+53=1+27+125=153，

∴73+93+…+193=1990019747．