Question

【题目】通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ， 故EF、BE、DF之间的数量关系
为 ．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为 ， 并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）△AFE；EF=DF+BE
（2）EF=DF﹣BE
（3）

解：联想拓展：

如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，

由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ACG=∠B=45°，

∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，

∵EC=6，CG=BD=3，

由勾股定理得：EG= = =3 ，

∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，

∴∠DAG=90°，

∵∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，

∴∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠EAG=45°，

∵AE=AE，

∴△AED≌△AEG，

∴DE=EG=3 ．

【解析】解：（1.）思路梳理：
如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
由旋转得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
即点F、D、G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△AFE和△AFG中，
∵ ，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
所以答案是：△AFE，EF=DF+AE；
（2.）类比引申：
如图2，EF=DF﹣BE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE；

【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．