Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C(1，4)，交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为(3，0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若，请求出点P的坐标．

（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1,4）或（2,3）；（3）点M的坐标为（，0）.

【解析】

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
(2)如图2，过点P作PQ//y轴交DB于Q，求出直线BD的解析式，设P(m, -m2+2m+3)，则Q(m,-m+3)，得到S△PBD =-m2+m，又，解方程求出m的值，再求点P的坐标即可；

(3)设M(c,0),由△AMN∽△AMD,得到,得出MN=，DM=，再由△DNM∽△BMD，得到，即9+c2=×,求解即可的出答案.

（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，

将点B（3，0）代入，得：（3-1）2a+4=0

解得：a=-1

∴解析式为：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

(2)如图2，过点P作PQ//y轴交DB于Q，

∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，

∴点D的坐标为（0,3），

设直线BD的解析式为y=kx+b,

把D(0,3)和B(3,0)代入y=kx+b得，，

解得：

∴直线BD的解析式为y=-x+3,

设P(m, -m2+2m+3)，则Q(m,-m+3)．
∴PQ=-m2+2m+3(-m+3)= -m2+3m,
又∵S△PBD=S△PQD+S△PQB
=mPQ+ (3m)PQ=PQ×3=m2+m，
∵,

∴-m2+m=3

解得：m1=1,m2=2,
∴点P的坐标为（1,4）或（2,3）

(3) ∵BD=,设M(c,0),

∵MN∥BD,

∴△AMN∽△AMD,

∴,即，

∴MN=，DM=，

∵△DNM∽△BMD，

∴,即DM2=BD·MN,

∴9+c2=×,

解得：c=或c=3(舍去)，

∴点M的坐标为（，0）.