Question

（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE=DE；
（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB=AC，在直线m上取两点 D，E，使∠ADB=∠AEC=α，补充∠BAC=

 

（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE=DE，补充条件后并证明；
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB=∠AEC=

 

（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据BD⊥m，CE⊥m，得出∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，再根据∠BAC=90°，求出∠ABD=∠EAC，在△ADB和△CEA中，根据“AAS”得出△ADB≌△CEA，从而证出BD+CE=DE；
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）补充∠BAC=α，根据ADB=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出BD+CE=DE
（3）补充∠ADB=∠AEC=180°-α，根据补充的条件得出∠ABD+∠BAD=α，再根据∠BAD+∠CAE=α，得出∠ABD=∠CAE，再根据AAS证出△ABD≌△CAE，得出AE=BD，CE=AD，即可证出BD+DE=CE．

解答：解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ADB和△CEA中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠EAC AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD+CE=AD+AE=DE；

（2）补充∠BAC=α，理由如下：
∵∠ADB=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）补充∠ADB=∠AEC=180°-α，理由如下：
∵∠ADB=180°-α，
∴∠ABD+∠BAD=α，
∵∠BAD+∠CAE=α，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，CE=AD，
∴BD+DE=AE+DE=AD=CE；

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，关键是根据全等三角形的判定添加适当的条件，求出各边之间的关系．