Question

【题目】菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，

∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°﹣∠B=120°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形

【解析】（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的判定和菱形的性质，掌握三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半即可以解答此题．