题目内容

如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,4),点A在线段OP上,点B在x轴正半轴上,且AP=OB=t, 0<t<4,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD;过点C、D依次向x轴、y轴作垂线,垂足为M,N,设过O,C两点的抛物线为y=ax2+bx+c.
(1)填空:△AOB≌△       ≌△BMC(不需证明);用含t的代数式表示A点纵坐标:A(0,       
(2)求点C的坐标,并用含a,t的代数式表示b;
(3)当t=1时,连接OD,若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O,求a的取值范围;
(4)当抛物线开口向上,对称轴是直线,顶点随着t的增大向上移动时,求t的取值范围.

(1)DNA或△DPA;;(2)C(4,t),;(3)a>0或a<<a<0;(4)
0<t≤

解析试题分析:(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得:△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC;根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标:
∵∠DNA=∠AOB=90°,∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等).
在△AOB与△DNA中,∵,∴△AOB≌△DNA(SAS).
同理△DNA≌△BMC.
∵点P(0,4),AP=t,∴
(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等易推知:OM=OB+BM=t+=4,则C(4,t).把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得确.
(3)利用待定系数法求得直线OD的解析式.与抛物线联立方程组,解得x=0或
对于抛物线的开口方向进行分类讨论,即a>0和a<0两种情况下的a的取值范围.
(4)根据抛物线的解析式得到顶点坐标是.结合已知条件求得a=,故顶点坐标为.由抛物线的性质知:只与顶点坐标有关,故t的取值范围为:0<t≤
试题解析:解:(1)DNA或△DPA;.
(2)由题意知,NA=OB=t,则OA=
∵△AOB≌△BMC,∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+="4." ∴C(4,t).
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C,
,解得.
(3)当t=1时,抛物线为,NA=OB=1,OA=3.
∵△AOB≌△DNA,∴DN=OA=3.
∵D(3,4),∴直线OD为:
联立方程组,得,消去y,得
解得,x=0或.
所以,抛物线与直线OD总有两个交点.
讨论:①当a>0时,>3,只有交点O,所以a>0符合题意;
②当a<0时,若>3,则a<
<0,则得a>.∴<a<0.
综上所述,a的取值范围是a>0或a<<a<0.
(4)∵抛物线为,∴顶点坐标是
又∵对称轴是直线x=,∴a=.
∴顶点坐标为:,即
∵抛物线开口向上,且随着t的增大,抛物线的顶点向上移动,
∴只与顶点坐标有关,∴t的取值范围为:0<t≤

考点:1.二次函数综合题;2.线动平移问题;3.全等三角形的判定和性质;4.待定系数法的应用;5.曲线上点的坐标与方程的关系;6.二次函数的性质;7.平移的性质;8.分类思想的应用.

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