题目内容

已知抛物线与x轴交点为A、B(点B在点A的右侧),与y轴交于点C.
(1)试用含m的代数式表示A、B两点的坐标;
(2)当点B在原点的右侧,点C在原点的下方时,若是等腰三角形,求抛物线的解析式;
(3)已知一次函数,点P(n,0)是x轴上一个动点,在(2)的条件下,过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线于点N,若只有当时,点M位于点N的下方,求这个一次函数的解析式.

(1);(2);(3)

解析试题分析:(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,令,解出即可求得用含m的代数式表示的A、B两点坐标.
(2)根据等腰三角形的性质,,列式求出m的值即可求得抛物线的解析式.
(3)依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4,由此可得交点坐标,应用待定系数法,将交点坐标分别代入一次函数解析式即可求解.
试题解析:(1)令,有
. ∴

∵点B在点A的右侧,∴
(2)∵点B在原点的右侧且在点A的右侧,点C在原点的下方,抛物线开口向下,
.∴.∴
,有.∴
是等腰三角形,且∠BOC =90°,
,即
,解得(舍去).

∴抛物线的解析式为
(3)依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4,
由此可得交点坐标为
将交点坐标分别代入一次函数解析式中,
 , 解得 .
∴一次函数的解析式为

考点:1.二次函数综合题;2.动点问题;3.待定系数法的应用;4.曲线上点的坐标与方程的关系;5.等腰三角形的性质;6.数形结合思想的应用.

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