Question

（1）观察下列等式：

1

(1+1×2)(1+2×2)

=

1

2

(

1

1+1×2

-

1

1+2×2

)，

1

(1+2×2)(1+3×2)

=

1

2

(

1

1+2×2

-

1

1+3×2

)，

1

(1+3×2)(1+4×2)

=

1

2

(

1

1+3×2

-

1

1+4×2

)，
根据等式的规律填空：

1

[1+2(n-1)](1+2n)

=

 

；
（2）利用（1）的结论先化简代数式：

1

(1+x)(1+2x)

+

1

(1+2x)(1+3x)

+

1

(1+3x)(1+4x)

+

1

(1+4x)(1+5x)

+

1

(1+5x)(1+6x)

+

1

(1+6x)(1+7x)

再求当x=

-4+ 30

7

的值．

Answer 1

分析：（1）根据等式规律进行解答；
（2）注意运用（1）的结论，先化简，再代入求值．

解答：解：（1）

1

2

[

1

1+2(n-1)

-

1

1+2n

]；
（2）原式=

1

x

[

1

1+x

-

1

1+2x

+

1

1+2x

-

1

1+3x

+…-

1

1+7x

]
=

1

x

（

1

1+x

-

1

1+7x

）
=

6

(1+x)(1+7x)

，
当x=

-4+ 30

7

时，
原式=

6

3+ 30 7 ×(-3+ 30 )

=2．

点评：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．
在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．