题目内容
在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点B作∠CBE=∠A,BE与射线CA相交
于点E,与射线CD相交于点F.
(1)如图,当点E在线段CA上时,求证:BE⊥CD;
(2)如果BE=CD,那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论;
(3)如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.

(1)如图,当点E在线段CA上时,求证:BE⊥CD;
(2)如果BE=CD,那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论;
(3)如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
(1)∵∠CBE=∠A,
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA,即:∠CBA=∠BEC,
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠CBA=∠DCB,
∴∠DCB=∠BEC,
∵∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠BEC+∠ACD=90°,
∴BE⊥CD;
(2)线段AC与BC之间的数量关系是
=
(AC=2BC),
∵∠CBE=∠A,∠BCE=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB,
∴
=
,
∵BE=CD,
=
,
∴
=
.
(3)∵△BDF是等腰三角形,∠BFD=90°,
∴∠BDF=45°.
①当点E在线段CA上时,∠A=
∠BDF=22.5°;(2分)
②当点E在线段CA延长线上时,∠BAC=
=
=67.5°.(2分)
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA,即:∠CBA=∠BEC,
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠CBA=∠DCB,
∴∠DCB=∠BEC,
∵∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠BEC+∠ACD=90°,
∴BE⊥CD;
(2)线段AC与BC之间的数量关系是
BC |
AC |
1 |
2 |
∵∠CBE=∠A,∠BCE=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB,
∴
BC |
AC |
BE |
AB |
∵BE=CD,
CD |
AB |
1 |
2 |
∴
BC |
AC |
1 |
2 |
(3)∵△BDF是等腰三角形,∠BFD=90°,
∴∠BDF=45°.
①当点E在线段CA上时,∠A=
1 |
2 |
②当点E在线段CA延长线上时,∠BAC=
180°-∠CDA |
2 |
135° |
2 |

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