Question

如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．

（1）求证：△ACP∽△DBP．
（2）写出y关于x的函数解析式．
（3）若CD=8时，求S△ACP：S△DBP的值．

Answer 1

(1)证明内联解析；（2）y=；（3）4：1.

试题分析：（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，由此得证；
（2）根据相似三角形得到的比例线段即可求出y、x的函数关系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，联立（2）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出所求的结果．
试题解析：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；
（2）由（1）可得：CP•PD=AP•PB，即xy=12；
∴y=
（3）由题意得
；
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x₁=2，x₂=6
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2
S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=2²：3²=4：9或S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=6²：3²=4：1．
考点:1. 圆周角定理; 2.根据实际问题列反比例函数关系式；3.相似三角形的判定与性质.