题目内容
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
(1)①
（
）,②AP=
;(2)AP的长为
或
．
（）,②AP=;(2)AP的长为或．试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-
x+4（圆心距），BQ=-
x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可；（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-
x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（x）2+（-x+4）2=
x2-
x+16，再由CI=AP得到x2-x+16=x2，解得x1=
，x2=4，由于0＜x＜
，由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=x2-x+16，利用CI=AP得到x2-x+16=x2，解得x1=
，x2=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4．试题解析：
解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，
．∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
∴
（）．②设BE的中点为Q，联结PQ．
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，
∴
，∴
，∴
，
．当以BE为直径的圆和⊙P外切时，
．解得
，即AP的长为．（2）如果点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可知
，
．在Rt△CQI中，
．∵CI=AP，∴
，解得
，
（不合题意，舍去）．∴AP的长为
．同理，如果点E在线段BC上时，
，．在Rt△CQI中，
．∵CI=AP，
∴
，解得（不合题意，舍去），．∴AP的长为4．
综上所述，AP的长为
或．
练习册系列答案
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中，以
为直径的
交
于点
，点
为
的中点，连结
交
，且
.
与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
,求
、
是⊙O的两条切线，
是切点，
是⊙
的直径，若∠
40°，求∠
的度数.