Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则

BO

AO

的值为（　　）

A．sin²α

B．cos²α

C．tan²α

D．tan^-2α

Answer 1

分析：首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，继而可求得

BO

AO

的值．

解答：解：连接AD，BD，
∵∠BAD与∠BCD是

BD

对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=α，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠ODB=∠BAD=α，
在Rt△AOD中，AO=

OD

tan∠DAB

=

OD

tanα

，
在Rt△BOD中，OB=OD•tan∠ODB=OD•tanα，
∴

BO

AO

=

OD•tanα

OD tanα

=tan²α．
故选C．

点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．