题目内容

如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）．

解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图（1）．
由翻折可知：DO=AO=3，
∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠DOE=30°．
∴DE= $\text{[math]}$
在Rt△COD中，由勾股定理，得
OE= $\text{[math]}$
∴D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（2）在Rt△AOB中，
AB=AO•tan30°=3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴B（ $\text{[math]}$ ，3）．
∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过B（ $\text{[math]}$ ，3），D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）两点，
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴此抛物线表达式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3．

（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），

作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）．
∵E为抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3的顶点，
∴E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
设OB所在直线的表达式为y=kx，
将点B（ $\text{[math]}$ ，3）代入，得k= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x．
∵P在射线OB上，
∴P（x， $\text{[math]}$ x），F（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
则H（x， $\text{[math]}$ ）G（x， $\text{[math]}$ ）．
∵M在抛物线上，M（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ +3）．
要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．
$\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3），
即- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+3+ $\text{[math]}$ x=5．
解得x₁=2 $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ．
∴P₁点坐标为（2 $\text{[math]}$ ，6），P₂点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）与F重合，应舍去．
∴P点坐标为（2 $\text{[math]}$ ，6）．
分析：（1）过点D作DC⊥x轴于点E，如图（1），由轴对称得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，从而可以求出D的坐标．
（2）通过解直角三角形AOB求出AB的值，求出点B的坐标，再将B、D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E点的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，从而求出F的坐标，从而求出EF，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2），由题意可得PH=GM从而求出点P的坐标．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的判定及性质及解直角三角形的运用．