Question

如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．
（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？
（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：动点型

分析：（1）设x秒时，△ADE为直角三角形，则CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，根据30°的直角边=斜边的一般建立方程求出其解即可；
（2）作DG∥AB交BC于点E，证明△DGP≌△EBP，就可以得出PD=PE．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4cm，∠A=∠ABC=∠C=60°．
设x秒时，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE=90°，CD=0.5x，BE=0.5x，AD=4-0.5x，AE=4+0.5x，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∴4+0.5x=2（4-0.5x），
∴x=

8

3

；
答：运动

8

3

秒后，△ADE为直角三角形；

（2）作DG∥AB交BC于点G，
∴∠GDP=∠BEP，∠DGP=∠EBP，∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°，
∴∠C=∠CDG=∠CGD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG=DC，
∵DC=BE，
∴DG=BE．
在△DEP和△EBP中

∠GDP=BEP DG=EB ∠DGP=∠EBP

，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴DP=PE．
∴在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．