题目内容
【题目】Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝
在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当
时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）n＝2m；（2）y＝
，y＝
x+1．（3）点P的坐标为（1，
）；（
，
）．
【解析】
（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y=
解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用△BDE的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用△AEO与△EFP 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝k，2n＝k，
整理得：n＝2m；
（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
∴BDEH＝（m+1）×2＝2，
所以解得m＝1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
所以k＝4．
因此反比例函数的解析式为：y＝．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
，解得：
因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1．
（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，
当△BED∽△BPC时，
，
∴
，
∵BF＝1，
∴BH＝，
∴CH＝，可得＝x+1，x＝1，
点P的坐标为（1，）；
如图3，当△BED∽△BCP时，
，
∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝
，
∴
，
，
∴
，BF＝1，BH＝
，
∴CH＝，可得＝x+1，x＝，
点P的坐标为（，）
点P的坐标为（1，）；（，）．
应用题作业本系列答案
