题目内容
如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在y正半轴上，OC在x正半轴上，点D是线段OC上一点，过点D作DE⊥AD交直线BC于点E，以A、D、E为顶点作矩形ADEF．（1）求证：△AOD∽△DCE；
（2）若点A坐标为（0，4），点C坐标为（7，0）．
①当点D的坐标为（5，0）时，抛物线y=ax2+bx+c过A、F、B三点，求点F的坐标及a、b、c的值；
②若点D（k，0）是线段OC上任意一点，点F是否还在①中所求的抛物线上？如果在，请说明理由；如果不在，请举反例说明；
（3）若点A的坐标是（0，m），点C的坐标是（n，0），当点D在线段OC上运动时，是否也存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上？若存在，请直接用含m、n的代数式表示该抛物线；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，以及∠OAD=∠EDC，即可得出△AOD∽△DCE；
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=
，CD=2，进而求HF的长，利用A（0，4）、F（2，
）、B（7，4），求出二次函数解析式；
（3）根据②式中
，直接将A，C点的坐标代入即可．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；
（2）解：①过F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，
由题意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴
，
即
，
∴CE=
，CD=2
∵四边形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，FN=EC=
，
∴FH=
∴F点的坐标是（2，
），
由A（0，4）、F（2，
）、B（7，4），
得
，
解得
，
∴过A、F、B三点的抛物线的表达式为：
；
②点F在①中所求的抛物线上．
理由是：由（2）中①可知，
抛物线的表达式为：
，
当D（k，0）时，则DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，
），
将x=7-k代入
得，
，
又
所以点F在①中所求的抛物线上．
（3）解：存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上．
该抛物线的表达式为：
．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，主要考查学生数形结合的数学思想方法，是一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质．
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=
，CD=2，进而求HF的长，利用A（0，4）、F（2，）、B（7，4），求出二次函数解析式；（3）根据②式中
，直接将A，C点的坐标代入即可．解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；
（2）解：①过F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，
由题意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴
，即
，∴CE=
，CD=2∵四边形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，FN=EC=
，∴FH=
∴F点的坐标是（2，
），由A（0，4）、F（2，
）、B（7，4），得
，解得
，∴过A、F、B三点的抛物线的表达式为：
；②点F在①中所求的抛物线上．
理由是：由（2）中①可知，
抛物线的表达式为：
，当D（k，0）时，则DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，
），将x=7-k代入
得，，又
所以点F在①中所求的抛物线上．
（3）解：存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上．
该抛物线的表达式为：
．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，主要考查学生数形结合的数学思想方法，是一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质．
练习册系列答案
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