Question

（1）已知x₁和x₂为一元二次方程2x²-2x+3m-1=0的两个实根，并x₁和x₂满足不等式

x1x2

x1+x2-4

＜1，则实数m取值范围是

 

；
（2）已知关于x的一元二次方程8x²+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有实数根的条件，得出△=（-2）²-4×2（3m-1）≥0①；由根与系数的关系可得 x₁+x₂=1，x₁•x₂=

3m-1

2

，代入

x1x2

x1+x2-4

＜1，又得到一个关于m的不等式②，解由①②组成的不等式组，即可求出m的取值范围．
（2）先根据一元二次方程有两个负数根，由一元二次方程根与系数的关系，得出两根之和小于0，两根之积大于0，解不等式组求出m的取值范围，再代入判别式△≥0进行检验，即可求出结果．

解答：解：（1）∵方程2x²-2x+3m-1=0有两个实数根，
∴△=（-2）²-4×2（3m-1）≥0，解得m≤

1

2

．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=

3m-1

2

．
∵

x1x2

x1+x2-4

＜1，
∴

3m-1

-6

＜1，解得m＞-

5

3

．
∴-

5

3

＜m≤

1

2

；
（2）∵关于x的一元二次方程8x²+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，
∴

- m+1 8 ＜0 m-7 8 ＞0

，
解得m＞7．
又∵△=（m+1）²-4×8（m-7）=m²-30m+225=（m-15）²≥0，
∴实数m的取值范围是m＞7．
故答案为-

5

3

＜m≤

1

2

；m＞7．

点评：本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，根与系数的关系及一元一次不等式组的解法．难度中等．注意利用根与系数的关系解题的前提条件是判别式△≥0．