Question

如图，点P是双曲线y=-

12

x

（x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=

6

x

于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=______；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，求S₂．

Answer 1

（1）四边形PEOF的面积S₁=四边形PAOB的面积+△OAE的面积+△OBF的面积=|k₁|+k₂=k₂+k₁=12+6=18

（2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．
证明：如图，由题意可得：
A（-4，0），B（0，3），E（-4，-

3

2

），F（2，3），
∴PA=3，PE=3+

3

2

=

9

2

，PB=4，PF=4+2=6，
∴

PB

PF

=

4

6

=

2

3

，

PA

PE

=

3

9 2

=

2

3

，
∴

PB

PF

=

PA

PE

，
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；
②S₂没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，-

3

2

），N（2，0），Q（2，-

3

2

），
而S_△EFQ=S_△PEF，
则S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=12×

1

2

+6×

1

2

+2×

3

2

=6+3+3
=12．
故答案为12．