Question

在正方形ABCD中：
（1）如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．求证：AE=BF．
（2）如图②，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等吗？证明你的结论．
（3）若将②中的条件“GE⊥HF”改为GE=HF，那么GE、HF有什么位置关系？证明你的结论．
（4）如图③，在等边三角形ABC中，点E、F分别在BC、CA上，且BE=CF，你能猜想∠AMF的度数吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：有三角形的直接证明三角形全等，没三角形的构造直角三角形，利用正方形的性质证明三角形全等；对于第4问也是证明三角形全等，再用角等量代换求解．

解答：（1）证明：∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中

∠BAE=∠CBF ∠ABC=∠BCF AB=BC

，
△BAE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF；


（2）结论：HF=GE
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°，∠EGT+∠GPM=90°，∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=∠EGT，
∵HN=GT，∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）结论：GE⊥HF
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）结论：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中

AB=BC ∠ABC=∠ BE=CF

BCF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．

点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及作辅助线的能力和适时等量代换的能力．