题目内容

【题目】如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MPOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.

(1)求P点的坐标(用含x的代数式表示);

(2)试求NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;

(3)设四边形OMPC的面积为S1,四边形ABNP的面积为S2,请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由;

(4)当x为何值时,NPC是一个等腰三角形?

【答案】(1)点P坐标为(x,);(2)S的最大值为,此时x=2;(3)当0<x<2时,S1<S2;当x=2时,S1=S2;当2<x<4时,S1>S2;(4)x=,或x=,或x=

【解析】

(1)首先根据题意得到C、M、N三点的坐标值.根据三角形中三角函数的关系,进而得到P点的坐标值.

(2)设NPC的面积为S.在NPC,根据(1)可知CN的长关于x的表达式,NC边上的高关于x的表达式.再利用三角形面积的计算公式求得,S关于x二次函数表达式.在x的取值范围内求该二次函数的最大值.

(3)根据梯形的面积计算公式写出S1关于x的表达式,根据S2=SABC-SPCN写出关于x的关系式.再就0<x<4的取值,讨论S1S2的大小关系.

(4)首先延长MPCBQ,则有PQBC.再分解就①若NP=CP;②若CP=CN;③若CN=NP三种情况讨论x的取值.

(1)由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),

∴点P坐标为(x,3x);

(2)设NPC的面积为S,

NPC中,NC=4-x,NC边上的高为x,其中,0≤x≤4,

S=(4-x)×x=-(x-2)2+

S的最大值为,此时x=2;

(3)由图形知,S1= (OC+MP)OM= (3+3x)x

S2=SABC-SPCN=×4×3 (4x)×x;

0<x<2时,S1<S2;当x=2时,S1=S2;当2<x<4时,S1>S2

(4)延长MPCBQ,则有PQBC.

①若NP=CP,PQBC,NQ=CQ=x.3x=4,x=

②若CP=CN,则,CN=4-x,PQ=x,CP=x,4-x=x,x=

③若CN=NP,则CN=4-x.PQ=x,NQ=4-2x,在RtPNQ中,PN2=NQ2+PQ2

(4-x)2=(4-2x)2+(x)2x=

综上所述,x=,或x=,或x=

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