题目内容
【题目】如图,已知直线l的解析式为y=x﹣1,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(m,0),B(2,0),D(1,)三点.
(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;
(2)已知点 P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S最大时点P的坐标;
(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2,(﹣4,0).见解析;(2)S的最大值是12,此时点P的坐标为(﹣2,2);(3)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据待定系数法可求抛物线的解析式,再根据A(m,0)在抛物线上,得到0=﹣m2﹣m+2,解方程即可得到m的值,从而得到A点的坐标;
(2)根据四边形PAFB的面积S=ABPF,可得S=﹣(x+2)2+12,根据函数的最值可得S的最大值是12,进一步得到点P的坐标为;
(3)根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y=﹣x+1,设Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一点,则Q点关于x轴的对称点为(a,1﹣a),将(a,1﹣a)代入y=﹣x+1显然成立,依此即可求解.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过点B(2,0),D(1,),
∴,
解得a=﹣,b=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2,
∵A(m,0)在抛物线上,
∴0=﹣m2﹣m+2,
解得:m1=﹣4,m2=2(舍去),
∴A点的坐标为(﹣4,0).
如图所示:
(2)∵直线l的解析式为y=x﹣1,
∴S=ABPF
=×6PF
=3(﹣x2﹣x+2+1﹣x)
=﹣x2﹣3x+9
=﹣(x+2)2+12,
其中﹣4<x<0,
∴S的最大值是12,此时点P的坐标为(﹣2,2);
(3)∵直线PB经过点P(﹣2,2),B(2,0),
∴PB所在直线的解析式为y=﹣x+1,
设Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一点,
则Q点关于x轴的对称点为(a,1﹣a),
将(a,1﹣a)代入y=﹣x+1显然成立,
∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.