题目内容

【题目】平面直角坐标系中,抛物线C1y1=x2-2mx+2m2-1,抛物线C2y2=x2-2nx+2n2-1

1)若m=2,过点A(0,7)作直线l垂直于y轴交抛物线C1于点BC两点.

①求BC的长;

②若抛物线C2与直线l交于点EF两点,若EF长大于BC的长,直接写出n的范围;

2)若m+n=k(k是常数)

①若,试说明抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线上;

②求y1+y2的最小值(用含k的代数式表示)

【答案】(1)4;②-2n2(2)①交点横坐标为k,且k是常数,在直线x=k上;②

【解析】

(1)①将m=2代回抛物线C1中,得到解析式,再令解析式中y=7,进而求出BC两点的横坐标,进而求出BC的长;

②抛物线C2y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,求出EF的长为,再利用EF大于BC即可求解;

(2)①联立抛物线C1C2求出交点的横坐标是常数k,进而确定交点始终在定直线x=k上;

②先算出y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2,再将m+n=k整体代入求最值即可.

解:(1)①当m=2时,抛物线C1的解析式为:y1=x2-4x+7

y=7,即x2-4x+7=7,解得x1=0x2=4

BC的长为:4-0=4.

故答案为:4.

②抛物线C2y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7

即:x2-2nx+2n2-1=7,解得:x1=x2=

∴EF=

∵EF大于BC

解得:

故答案为:.

(2)①联立抛物线C1C2

即:

整理有:

,等式两边同时除以

C1C2交点的横坐标是常数k

抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线x=k.

②由题意知:

y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)

=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2

=2x-2kx+2(m+n)-2.

2x-2kx+2(m+n)-2看成是一个新的函数用y3来表示,

即:y3=2x-2kx+2(m+n)-2

当其对称轴x=时,y3有最小值,

x=代入,其最小值为:

m+n=k,∴n=m-k

∴m+n=m+(m-k)=2m-2mk+k

m=时,此时n=m+n有最小值为:

的最小值为:.

故答案为:.

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