题目内容
【题目】平面直角坐标系中,抛物线C1:y1=x2-2mx+2m2-1,抛物线C2:y2=x2-2nx+2n2-1,
(1)若m=2,过点A(0,7)作直线l垂直于y轴交抛物线C1于点B、C两点.
①求BC的长;
②若抛物线C2与直线l交于点E、F两点,若EF长大于BC的长,直接写出n的范围;
(2)若m+n=k(k是常数),
①若,试说明抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线上;
②求y1+y2的最小值(用含k的代数式表示) .
【答案】(1)①4;②-2<n<2;(2)①交点横坐标为k,且k是常数,在直线x=k上;②
【解析】
(1)①将m=2代回抛物线C1中,得到解析式,再令解析式中y=7,进而求出B、C两点的横坐标,进而求出BC的长;
②抛物线C2:y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,求出EF的长为,再利用EF大于BC即可求解;
(2)①联立抛物线C1和C2求出交点的横坐标是常数k,进而确定交点始终在定直线x=k上;
②先算出y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2,再将m+n=k整体代入求最值即可.
解:(1)①当m=2时,抛物线C1的解析式为:y1=x2-4x+7,
令y=7,即x2-4x+7=7,解得x1=0,x2=4,
∴BC的长为:4-0=4.
故答案为:4.
②抛物线C2:y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,
即:x2-2nx+2n2-1=7,解得:x1=,x2=,
∴EF=,
∵EF大于BC,
∴,
解得:,
故答案为:.
(2)①联立抛物线C1和C2
即:,
整理有:,
又,∴,等式两边同时除以
∴,
故C1和C2交点的横坐标是常数k,
∴抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线x=k上.
②由题意知:
y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)
=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2
=2x-2kx+2(m+n)-2.
将2x-2kx+2(m+n)-2看成是一个新的函数用y3来表示,
即:y3=2x-2kx+2(m+n)-2,
当其对称轴x=时,y3有最小值,
将x=代入,其最小值为:,
又m+n=k,∴n=m-k,
∴m+n=m+(m-k)=2m-2mk+k,
∴当m=时,此时n=,m+n有最小值为:,
故的最小值为:.
故答案为:.