Question

【题目】好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC=48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．

（1）填空：∠BIC=　　　　 °．

（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC=　　　　 °．

（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于　　　　 度时，CE∥AB？

Answer 1

【答案】（1）114；（2）66；（3）∠BEC∠BAC，理由见解析；（4）84．

【解析】

（1）先根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，进而可根据角平分线的性质求得∠IBC+∠ICB的度数，然后再利用三角形的内角和定理即可求出结果；

（2）根据一对邻补角的平分线互相垂直可得∠IBD=∠ICD=90°，根据四边形的内角和可得∠BDC+∠BIC=180°，再结合（1）题的结果即得答案；

（3）设∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，根据三角形的外角性质可得2x=2y+∠A，x=y+∠E，然后整体变形即得结论；

（4）根据平行线的判定可得当∠ECA=∠A=48°时CE∥AB，然后根据角平分线的性质和平角的定义即可求出结果．

解：（1）∵∠A=48°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣48°=132°．

∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，

∴∠IBC+∠ICB(∠ABC+∠ACB)=66°，∴∠BIC=180°﹣66°=114°．

故答案为：114．

（2）如图，∵IB平分∠ABC，DB平分∠FBC，

∴∠IBD(∠ABC+∠FBC)= 90°，

同理可得∠ICD=90°，

∴∠BDC+∠BIC=180°，

∴∠BDC=180°－∠BIC=66°．

故答案为：66．

（3）∠BEC∠BAC．

理由：设∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，

∴2x=2y+∠A①，x=y+∠E②，

则①÷2﹣②可得：∠E∠A．

（4）当∠ECA=∠A=48°时，CE∥AB，

∵CE平分∠ACG，

∴∠ECG=∠ECA=48°，

∴∠ACB=180°﹣48°﹣48°=84°．

故答案为：84．