题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=﹣ 
x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（一8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：APAN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒 
个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？
【答案】
（1）
解：抛物线解析式为y=﹣ 
（x+8）（x﹣2），
即y=﹣ x2﹣ 
x+4；
当x=0时，y=﹣ x2﹣ x+4=4，则C（0，4）
∴BC=4 
，AC=2 ，AB=10，
∵BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）
（2）
解：以APAN为定值．理由如下：
如图1，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵∠APB=∠AON，∠NAO=∠BAP，
∴△APB∽△AON．
∴AN：AB=AO：AP，
∴ANAP=ABAO=20，
所以APAN为定值，定值是20
（3）
解：∵AB⊥CD，
∴OD=OC=4，则D（0，﹣4），
易得直线BD的解析式为y=﹣ 
x﹣4，
过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
∵FG∥OD，
∴△BFG∽△BDO，
∴ 
= 
，即 
= 
= 
= ，
∴点Q沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间
等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，
作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，
作FH⊥BI于H，则FH=FG，
∴AF+FG=AF+FH，
当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，
作DK⊥BI，垂足为K，
∵BE平分∠ABI，
∴DI=DO=4，
设DI=m，
∵∠DIK=∠BIO，
∴△IDK∽△IBO，
∴ 
= 
= 
= ，
∴BI=2m，
在Rt△OBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2= 
，
∴I（0，﹣ 
），
设直线BI的解析式为y=kx+n，
把B（﹣8，0），I（0，﹣ ）代入得 
，解得 
，
∴直线BI的解析式为y=﹣ 
x﹣ ，
∵AH⊥BI，
∴直线AH的解析式可设为y= 
x+q，
把A（2，0）代入得 +q=0，解得q=﹣ ，
∴直线AH的解析式为y= x﹣ ，
解方程组 
，解得 
，
∴F（﹣2，﹣3），
即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少．
【解析】（1）利用交点式可写出抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+4，再求出C点坐标，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则根据圆周角定理的推论可判断AB为直径，从而得到圆心M点的坐标；（2）如图1，利用圆周角定理得到∠APB=90°，则可证明△APB∽△AON．然后利用相似比可得到ANAP=20，即APAN为定值；（3）先根据垂径定理得到OD=OC=4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y=﹣ x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，通过证明△BFG∽△BDO得到 = = ，则点Q沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，于是判断当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH=FG，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，设DI=m，证明△IDK∽△IBO得到BI=2m，
则利用勾股定理得到82+（4+m）2=（2m）2 ， 解得m1=4（舍去），m2= 
，从而得到I（0，﹣ ），接下来利用待定系数法确定直线BI的解析式为y=﹣ x﹣ 
，再确定直线AH的解析式，然后求直线BE和AH的交点坐标即可．
