题目内容

(2013•闸北区一模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点M、N分别在边AO和边OD上,且AM=
2
3
AO,ON=
1
3
OD,设
AB
=
a
BC
=
b
,试用
a
b
的线性组合表示向量
OM
和向量
MN
分析:根据平行四边形法则求出
AC
,再根据平行四边形的对角线互相平分表示
AO
,然后根据OM=
1
3
AO,再表示出
OM
即可;
根据平行线分线段成比例定理求出MN∥AD,并求出
MN
AD
=
1
3
,然后根据向量的表示
MN
=
1
3
AD
即可得解.
解答:解:根据平行四边形法则,
AC
=
AB
+
BC
=
a
+
b

∵平行四边形ABCD,
∴AO=
1
2
AC,
AO
=
1
2
AC
=
1
2
a
+
b
),
∵AM=
2
3
AO,
∴OM=
1
3
AO,
OM
=-
1
3
AO

OM
=-
1
3
×
1
2
a
+
b
)=-
1
6
a
-
1
6
b


∵AM=
2
3
AO,ON=
1
3
OD,
OM
OA
=
ON
OD
=
1
3

∴MN∥AD,
MN
AD
=
OM
OA
=
1
3

MN
=
1
3
AD

又∵平行四边形ABCD,
AD
=
BC
=
b

MN
=
1
3
b
点评:本题是对向量的考查,主要利用了平行四边形法则,平行四边形的对角线互相平分的性质,平行线分线段成比例定理,要注意线性组合的特点的利用.
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