题目内容

(2013•闸北区一模)已知:如图,二次函数y=
2
3
x2-
4
3
x-
16
3
的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为Q,直线QB与y轴交于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)在x轴上方找一点C,使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似,请直接写出点C的坐标.
分析:(1)根据二次函数解析式求得点B的坐标;设直线BQ:y=kx+b(k≠0).则把B、Q的坐标代入该解析式列出关于系数k、b的方程组,通过解方程组即可求得它们的值;最后令x=0,则y=-8,即E(0,-8);
(2)需要分类讨论:①如图1,若∠COB=∠EOB=90°;②如图1,若∠CBO=∠EOB=90°;③如图2,若∠OCB=∠BOE=90°.由相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度.
解答:解:(1)令y=0,得
2
3
x2-
4
3
x-
16
3
=0

解方程,得
x1=-2,x2=4,
∵点A在点B的左侧,
∴B(4,0)
y=
2
3
(x-1)2-6

∴Q(1,-6).
设直线BQ:y=kx+b(k≠0).则把B、Q的坐标代入,得
4k+b=0
k+b=-6

解得
k=2
b=-8

∴直线BQ的解析式是:y=2x-8,
∴E(0,-8);

(2)由(1)知,B(4,0),E(0,-8),则OE=8,OB=4.
①如图1,若∠COB=∠EOB=90°.
当△BOC∽△BOE时,
BO
BO
=
OC
OE
=1,即OC=OE=8,则C1(0,8);
当△COB∽△BOE时,
BO
EO
=
CO
BO
,即
4
8
=
CO
4
,则CO=2,故C2(0,2);
②如图1,若∠CBO=∠EOB=90°.
当△CBO∽△BOE时,
CB
BO
=
BO
OE
,即
CB
4
=
4
8
,解得,CB=2,故C3(4,2);
当△OBC∽△BOE时,
OB
BO
=
BC
OE
=1,即BC=OE=8,故C4(4,8);
③如图2,若∠OCB=∠BOE=90°,设C(x,y).
△OCB∽△BOE时,
OC
BO
=
CB
OE
,即
OC
4
=
CB
8
,或
OC
CB
=
1
2
  ①.
∵直角△BOC中,根据勾股定理知OC2+BC2=OB2=16,②
∴由①②得,OC=
4
5
5
,BC=
8
5
5

OC•BC=
32
5

1
2
OB•y=
1
2
OC•BC,
∴y=
8
5

∴x=
4
5
,即C5
4
5
8
5
).
同理,当△BCO∽△BOE时,C6
16
5
8
5
).
综上所述,符合条件的点C的坐标是:
C1(0,8),C2(0,2),C3(4,2),C4(4,8),C5
4
5
8
5
),C6
16
5
8
5
).
点评:本题考查了待定系数法求一次函数解析式,相似三角形的判定与性质以及二次函数的综合题.解答(2)题时,要分类讨论,以防漏解.
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