Question

（2013•闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=15，cos∠A=

4

5

．点M在AB边上，AM=2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA=x．
（1）求底边BC的长；
（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥AC于点H，求出AH=12，BH=9，求出CH，根据勾股定理得出BC²=BH²+CH²，求出即可；
（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，求出OE=OF=

1

2

BH=

9

2

，求出PC=15-x，根据y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP和三角形面积公式求出即可；
（3）①当PN⊥AC时，作MG⊥AC于点G，求出AG=8，MG=6，①若点P₁在AG上，由折叠知∠AP₁M=135°，求出P₁G=MG=6，代入AP₁=AG-P₁G求出即可；②若点P₂在CG上，由折叠知∠AP₂M=45°，求出P₂G=MG=6，代入AP₂=AG+P₂G求出即可；③当MN⊥AC时，
由折叠知∠AMP₃=∠NMP₃，求出P₃G=8-x，GN₃=4，根据P₃N₃²=P₃G²+GN₃²得出x²=（8-x）²+4²，求出即可．

解答：解：
（1）作BH⊥AC于点H，如图1，
∵在Rt△ABH中，cos∠A=

4

5

，AB=15，
∴AH=12，
∴BH=9，
∵AC=15，
∴CH=3，
∵BC²=BH²+CH²，
∴BC²=9²+3²=90，
∴BC=3

10

．

（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图2，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，点O是BC的中点，AB=AC，
∴OE=OF=

1

2

BH=

9

2

，
∵AM=2MB，AB=AC=15，
∴AM=10，BM=5，
∵PA=x，
∴PC=15-x，
∴y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP
=

1

2

BH•AC-

1

2

OE•BM-

1

2

OF•PC
=

1

2

×9×15-

1

2

×

9

2

×5-

1

2

×

9

2

×（15-x）
即y=

9

4

x+

45

2

．定义域是0＜x≤15．

（3）①当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G，
∵在Rt△AMG中，cos∠A=

4

5

，AM=10，
∴AG=8，
∴MG=6，
②若点P₁在AG上，∠AP₁N₁=90°，由折叠知：∠AP₁M=∠N₁P₁M=135°，
∴∠MP₁G=45°，
∵MG⊥AC，
∴P₁G=MG=6，
∴AP₁=AG-P₁G=2．
③若点P₂在CG上，由折叠知：∠AP₂M=45°，
∵MG⊥AC，
∴P₂G=MG=6，
∴AP₂=AG+P₂G=14．
④当MN⊥AC时，如图3，
由折叠知：∠AMP₃=∠NMP₃，P₃N₃=AP₃=x，MN₃=MA=10，
∴P₃G=8-x，GN₃=4，
∵P₃N₃²=P₃G²+GN₃²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
综上所述，x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．

点评：本题考查了折叠性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度偏大．