Question

若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x₁，x₂，且x₁x₂有下列结论：①x₁=2,x₂=3；②m>；③二次函数y=(x-x₁)(x-x₂)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中正确的结论是__________(填正确结论的序号)

Answer 1

②③．

试题分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
试题解析：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而选项①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．
考点: 1.抛物线与x轴的交点；2.一元二次方程的解；3.根的判别式；4.根与系数的关系．