题目内容
【题目】如图1，顶角为36°的等腰三角形称为锐角黄金三角形．它的底与腰之比为
≈0.618，记为k.受此启发，八年级数学课题组探究底角为36°的等腰三角形，也称钝角黄金三角形，如图2．
(1)在图1和图2中，若DE=BC，求证：EF=AB；
(2)求钝角黄金三角形底与腰的比值(用含k的式子表示)；
(3)如图3，在钝角黄金三角形ABC中，AD，DE依次分割出钝角黄金三角形△ADC，△ADE．若AB＝1，记△ABC，△ADC，△ADE分别为第1，2，3个钝角黄金三角形，以此类推，求第2020个钝角黄金三角形的周长(用含k的式子表示).
【答案】（1）证明见解析；（2）钝角黄金三角形底与腰的比值为
；（3）第2020个钝角黄金三角形
的周长为：
.
【解析】
（1）如图（见解析），作
的角平分线BH，交AC于点H，通过三角形全等的判定定理证得
，再根据三角形全等的性质即可得；
（2）如图（见解析），延长ED使得
，连接GF，由k的定义知
，再证
是等腰三角形，则有
，从而可得
的值，即为所求；
（3）根据相似三角形对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律，即可求出答案.
（1）如图，作的角平分线BH，交AC于点H
是等腰三角形，且顶角
又
是等腰三角形，且底角
在和
中，
；
（2）如图，延长ED使得，连接GF
是等腰三角形，且
（等角对等边）
故钝角黄金三角形底与腰的比值为；
（3）由题意得：
根据题（2）的结论可得：
，解得
则第1个钝角黄金三角形
的周长为
在和
中，
即第1个钝角黄金三角形与第2个钝角黄金三角形的对应边成比例，比例为
则第2个钝角黄金三角形
的周长为：
同理可得：第3个钝角黄金三角形的周长为：
依此类推，第2020个钝角黄金三角形的周长为：.
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