Question

如图，AB是⊙O直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N、P、Q分别是 弧AM，BM上一点(不与端点重合)，如果∠MNP＝∠MNQ，

①∠1＝∠2；②∠P＋∠Q＝；③∠Q＝∠PMN；④PM＝Om；⑤MN²＝PN·QN，其中正确的是

[　　]

A．①②③

B．①③⑤

C．④⑤

D．①②⑤

Answer 1

答案：B
解析：

如图:延长QN交⊙O于K，延长MN交⊙O于R，∵MN⊥AB，而∠MNP＝∠MNQ，∴∠1＝∠2，①正确．∠Q所对的弧为＋＋，∵∠PNA＝∠ANK，由圆的轴对称性可得＝，∴∠Q所对弧为＋2，而∠PMN所对弧为＋，而＝，＝，∴＝，即∠PMN所对弧为＋2＝＋2，∴∠Q＝∠PMN，③正确．在△PMN与△MNQ中，∠Q＝∠PMN，∠MNP＝∠MNQ，∴△MPN∽△QMN，有MN2＝PN·QN，⑤正确．

提示：

名师导引：延长QN交⊙O于K，延长MN交⊙O于R，∵MN⊥AB，而∠MNP＝∠MNQ，∴∠1＝∠2，①正确．∠Q所对的弧为＋＋，∵∠PNA＝∠ANK，由圆的轴对称性可得＝，∴∠Q所对弧为＋2，而∠PMN所对弧为＋，而＝，＝，∴＝，即∠PMN所对弧为＋2＝＋2，∴∠Q＝∠PMN，③正确．在△PMN与△MNQ中，∠Q＝∠PMN，∠MNP＝∠MNQ，∴△MPN∽△QMN，有MN2＝PN·QN，⑤正确．