Question

如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于E，∠AEC=45°，AB=2．设AE=x，CE²+DE²=y．下列图象中，能表示y与x的函数关系是的（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：过点O作OP⊥CD于点P，连接OD，先根据垂径定理得出CP=DP，再由∠OEP=∠AEC=45°，得出OP=PE．设DP=a，PE=b，在Rt△DOP中，运用勾股定理得出a²+b²=R²=1，进而得到CE²+DE²=2（a²+b²）=2，则y=2，即可得出正确选项．

解答：解：过点O作OP⊥CD于点P，连接OD，则CP=DP．
∵∠OEP=∠AEC=45°，
∴OP=PE．
设DP=a，PE=b，则CP=a，OP=b，
∴ED=a+b，EC=a-b．
在Rt△DOP中，OP²+DP²=OD²，
∴a²+b²=R²=1，
∴CE²+DE²=（a-b）²+（a+b）²=2（a²+b²）=2R²=2，
∴y=2，即y的值为一个常数，不随x的值的变化而变化．
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，正确作出辅助线，得出CE²+DE²=2R²（R是圆的半径）是解题的关键．