Question

已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠BCP的值．

Answer 1

（1）猜想：  ------------------------------------------1分
证明：∵ △ABC是等边三角形，点D为BC边的中点，
∴
∵ ∠BAE＝∠BDF , ∠ABE＝∠DBM
∴ ∽ ----------------------2分
∴  即  -------------3分
（2）解：如图， 连接EP  

由（1）∽
∴
∴
          ∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形  ----------------------4分
∴
∴
∴ -----------------------5分
在Rt△AEB中，AB＝7，AE＝ 
∴ =    
∴  -------------------6分
∵  ，，∠ABE＝∠DBM
∴ 
∴
∴ = ---------7分

略