题目内容

【题目】菱形ABCD,两条对角线ACBD相交于点O,E和点F分别是BCCD上一动点,且∠EOF+BCD=180°,连接EF.

(1)如图2,当∠ABC=60°时,猜想三条线段CECFAB之间的数量关系___

(2)如图1,当∠ABC=90°,AC=4 ,BE=,求线段EF的长;

(3)如图3,当∠ABC=90°,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处,EOF绕点O′旋转,仍满足∠EOF+BCD=180°,OEBC的延长线一点E,射线OFCD的延长线上一点F,连接EF探究在整个运动变化过程中,线段CECF,OC之间满足的数量关系,请直接写出你的结论.

【答案】1CE+CF=AB;(2;(3CFCE =O`C.

【解析】

1)如图1中,连接EF,在CO上截取CN=CF,只要证明OFN≌△EFC,即可推出CE+CF=OC,再证明OC= AB即可.

2)先证明△OBE≌△OCF得到BE=CF,在RtCEF中,根据CE +CF=EF即可解决问题.

3)结论:CF-CE=O`C,过点O`O`HACCFH,只要证明FO`H≌△EOC,推出FH=CE,再根据等腰直角三角形性质即可解决问题.

(1)结论CE+CF=AB.

理由:如图1中,连接EF,在CO上截取CN=CF.

∵∠EOF+ECF=180°

OE. C. F四点共圆,

∵∠ABC=60°,四边形ABCD是菱形,

∴∠BCD=180°ABC=120°

∴∠ACB=ACD=60°

∴∠OEF=OCF,∠OFE=OCE

∴∠OEF=OFE=60°

∴△OEF是等边三角形,

OF=FE

CN=CF,FCN=60°

∴△CFN是等边三角形,

FN=FC,∠OFE=CFN

∴∠OFN=EFC

OFNEFC中,

∴△OFN≌△EFC

ON=EC

CE+CF=CN+ON=OC

∵四边形ABCD是菱形,ABC=60°

∴∠CBO=30°ACBD

RTBOC,∵∠BOC=90°,OBC=30°

OC=BC=AB,

CE+CF=AB.

(2)连接EF

∵在菱形ABCDABC=90°

∴菱形ABCD是正方形,

∴∠BOC=90°,OB=OC,AB=AC,OBE=OCF=45°,BCD=90°

∵∠EOF+BCD=180°

∴∠EOF=90°

∴∠BOE=COF

∴△OBE≌△OCF

BE=CF

BE=

CF=

RtABC,AB+BC=AC,AC=4

BC=4

CE=

RtCEF,CE+CF=EF

EF=

答:线段EF的长为

(3)结论:CFCE=O`C.

理由:过点O`O`HACCFH

∵∠O`CH=O`HC=45°

O`H=O`C

∵∠FO`E=HO`C,

∴∠FO`H=CO`E

∵∠EO`F=ECF=90°

O`.C. F. E四点共圆,

∴∠O`EF=OCF=45°

∴∠O`FE=O`EF=45°

O`E=O`F

FO`HEO`C中,

∴△FO`H≌△EOC

FH=CE

CFCE=CFFH=CH=O`C.

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