Question

已知方程组

y2=2x y=kx+1

有两个不相等的解，
（1）求k的取值范围．
（2）若方程的两个实数解为

x=x1 y=y1

和

x=x2 y=y2

，是否存在实数k，使x₁+x₁x₂+x₂=1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先把方程组转化成一元二次方程，根据方程解的情况确定k的取值范围；
（2）先假设存在，根据已知条件看能否求出符合条件的k值即可．

解答：解：原方程组可化为k²x²+2（k-1）x+1=0
（1）由题意可知：△=[2（k-1）]²-4k²=-8k+4＞0（k≠0）
∴k＜

1

2

且k≠0；

（2）∵x₁+x₂=-

2(k-1)

k2

•x1x2=

1

k2

∴x₁+x₁x₂+x₂=-

2(k-1)

k2

+

1

k2

=1
解得k₁=1＞

1

2

（舍去），k₂=-3
∴满足条件的k值存在，k=-3．

点评：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解的个数，可以转化为利用一元二次方程的判别式来进行判断．