Question

已知方程组

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有两个不相等的实数解，
（1）求k的取值范围；  
（2）若方程组的两个实数解为

x=x1 y=y1

 和

x=x2 y=y2

，求出使得x₁+x₁x₂+x₂=1的k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程组

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有两个不相等的实数解，首先通过消元得到一个关于x或y的方程，然后利用判别式是正数即可求解；
（2）由于方程组有两个不相等的实数解，一由此得到x₁，x₂是k²x²+（2k-2）x+1=0式的两个根，然后利用根与系数的关系即可求解．

解答：解：（1）将②代入①整理，得k²x²+（2k-2）x+1=0（*）（2分），
∵方程组有两个不相等的实数解，即（*）式有两个不相等的根，
∴△＞0
由△=（2k-2）²-4k²＞0?k＜

1

2

，（2分）
又因为（*）式有两个不相等的根，k≠0，
∴k＜

1

2

且k≠0（1分）；

（2）∵方程组有两个不相等的实数解，
∴x₁，x₂是（*）式的两个根，
∴有x1+x2=-

2k-2

k2

，x1•x2=

1

k2

（2分），
由题意得-

2k-2

k2

+

1

k2

=1（1分），
∴k=-3或k=1（1分）
∵k＜

1

2

，
∴k=1舍去，k=-3为所求．（1分）

点评：此题主要考查了二元二次方程组的解的讨论及利用方程的解求代数式的值，首先利用判别式即可确定k值，然后利用根与系数的关系即可求出字母的值．