Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

试题分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；
（2）分①当点P在AB边上时，②当点P在AB的延长线上时，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）由△BPD∽△EQD可得，若设BP="x" ，则，，可得，即得∠QPD=∠C，又可证∠PDE=∠CDQ，则可得△PDF∽△CDQ，再分①当CQ=CD时，②当QC=QD时，③当DC=DQ时，三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.
（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 
∴BC=10
点D为BC的中点  
∴CD=5
可证△ABC∽△DEC
∴， 即
∴，；
（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，
在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°， 
∴∠DEC=∠B
∵DE⊥BC，∠PDQ=90° 
∴∠PDQ=∠BDE=90° 
∴∠BDP=∠EDQ
∴△BPD∽△EQD
∴，即，
∴
∴CQ=EC-EQ；
②当点P在AB的延长线上时，同理可得：，
∴CQ=EC+EQ；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上
∵△BPD∽△EQD   
∴
若设BP="x" ，则，，可得   
∴∠QPD=∠C
又可证∠PDE="∠CDQ"
∴△PDF∽△CDQ
∵△PDF为等腰三角形
∴△CDQ为等腰三角形
①当CQ=CD时，可得，解得
②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，
∴，
∴，解得
③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，
∴，
∴，解得(不合题意，舍去)
∴综上所述，或.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．