题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE,tan∠ACB=,BC=2cm.以下结论:
①CD=cm; ②AE=DE; ③CE是⊙O的切线; ④⊙O的面积等于
cm2.其中正确的结论有_____.(填序号)
【答案】①②③.
【解析】
根据正切的定义可以求出AB,由矩形的性质得到CD长,判断①;根据正切的定义求出DE和AE,判断②;根据切线的判定定理判断③;求出⊙O的半径,求出面积,判断④.
∵tan∠ACB=,
∴=
,又BC=2cm,
解得AB=cm,即CD=
cm,①正确;
∵∠ACB=∠DCE,tan∠ACB=,
∴tan∠DCE=,即
=
,
解得,DE=1,
∵BC=2,
∴AE=1,
∴AE=DE,②正确;
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC;
又∵∠ACB=∠DCE,
∴∠DAC=∠DCE;
连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE;
∵∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AE0+∠DEC=90°,
∴∠OEC=90°,即OE⊥CE,
又OE是⊙O的半径,
∴直线CE与⊙O相切,③正确;
在Rt△ADC中,AC=,
在Rt△CEO中,CE2+OE2=OC2,即()2+12+OE2=(
﹣OE)2,
解得,OE=,
④⊙O的面积=π×()2=
π,④错误,
故答案为:①②③.

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