Question

已知，如图，CD是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，BC=，BF=，AE：EF=8：3
求：ED的长．

Answer 1

解：连接CF，DF，AC，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF+∠D=90°，
∴∠BCF=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠BCF=∠A，
∵∠B是公共角，
∴△BCF∽△BAC，
∴BF：BC=BC：AB，
∴AB===6，
∴AF=AB=BF=6-=，
∵AE：EF=8：3，
∴EF=×=，AE=-=4，
∴BE=EF+BF=2，
∴CE==1，
∵∠A=∠D，∠DEF=∠AEC，
∴△DEF∽△AEC，
∴ED：AE=EF：CE，
∴ED===6．
分析：首先连接CF，DF，AC，易证得△BCF∽△BAC，即可求得AB的长，继而求得AE与EF的长，由勾股定理，可求得CE的长，然后又由△DEF∽△AEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得ED的长．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．