题目内容

(2006•河北区一模)已知,如图,CD是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为C,BC=
3
,BF=
1
2
,AE:EF=8:3
求:ED的长.
分析:首先连接CF,DF,AC,易证得△BCF∽△BAC,即可求得AB的长,继而求得AE与EF的长,由勾股定理,可求得CE的长,然后又由△DEF∽△AEC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得ED的长.
解答:解:连接CF,DF,AC,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠BCD=90°,
即∠BCF+∠DCF=90°,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CFD=90°,
∴∠DCF+∠D=90°,
∴∠BCF=∠D,
∵∠A=∠D,
∴∠BCF=∠A,
∵∠B是公共角,
∴△BCF∽△BAC,
∴BF:BC=BC:AB,
∴AB=
BC2
BF
=
(
3
)
2
1
2
=6,
∴AF=AB=BF=6-
1
2
=
11
2

∵AE:EF=8:3,
∴EF=
3
11
×
11
2
=
3
2
,AE=
11
2
-
3
2
=4,
∴BE=EF+BF=2,
∴CE=
BE2-BC2
=1,
∵∠A=∠D,∠DEF=∠AEC,
∴△DEF∽△AEC,
∴ED:AE=EF:CE,
∴ED=
AE•EF
CE
=
3
2
1
=6.
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中,注意解题的关键是掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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