Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将B、C两点的坐标代入得 ，

解得 ．

所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如图，

，

存在点P，使四边形POP′C为菱形．

设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），

PP′交CO于E

若四边形POPC是菱形，则有PC=PO．

连接PP则PE⊥CO于E．

∴OE=CE= ，

∴y= ．

∴

解得x1= ，x2= （不合题意，舍去）

∴P点的坐标为

（3）

解：如图1，

，

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，﹣x2+2x+3）

易得，直线BC的解析式为y=﹣x+3．

则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．

PQ=﹣x2+3x．

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= ABOC+ QPBF+ QPOF

= ×4×3+ （﹣x2+3x）×3

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

当 时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为 ，四边形ABPC面积的最大值为

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的概念和二次函数的图象的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．