Question

如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线），使边DF、EF与边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）．
（1）求证：△ADM是等腰三角形；
（2）设AD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）是否存在一个以M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切？如果存在，请求出圆的半径；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题主要通过等角对等边来解决的．
（2）此题的关键是通过解直角三角形求出直角△FMN的MN和FN（用含X的表达式表示出来），从而得出△FMN的面积，再用△FDE的面积减△FMN得面积就得出了Y的面积表达式．注意两种情况．
（3）此题主要通过找出一个简单的等量关系列出方程从而解决问题．

解答：解：（1）证明：

∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA，
∴△ADM是等腰三角形．（4分）

（2）解：∵△ADM是等腰三角形，

∴DM=AD=x，FM=4-x，
又∵∠FED=60°，∠A=30°，
∴∠FNM=90°，
∴MN=MF•sinF=（4-x）•

3

2

=

3

2

（4-x），
FN=

1

2

MF=

1

2

（4-x）．
y=S_△FMN=

1

2

MN•FN=

1

2

•

3

2

（4-x）•

1

2

（4-x）=

3

8

（4-x）²．（5分）
当0＜x≤2时，
y=S_{四边形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4

3

-

3

8

(4-x)2=-

3

8

x2+

3

x+2

3

．（7分）
当2≤x＜4时，

CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=

3

（6-x）．
∴y=S_△PCD=

1

2

•

3

（6-x）•（6-x）=

3

2

（6-x）²．

（3）过点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM=x

∵∠MDG=60°，
∴MG=

3

2

x
∴∠MNF=90°
∴MN⊥FC
要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，
则有MG=MN（11分）
即：

3

2

x=

3

2

(4-x)
解得x=2（12分）．
圆的半径MN=

3

2

(4-2)=

3

（13分）．
（注：如果学生有不同的解题方法，只要正确，可参考评分标准，酌情给分．）

点评：本题主要考查学生对切线的性质，解直角三角形及二次函数等综合知识的理解掌握及运用的程度．解题的关键是运用数形结合的方法，理解题意，将形的问题利用代数方法去解决．